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RAHMENPLAN GRUNDSCHULE

Teilrahmenplan Mathematik

Dezember 2014

RAHMENPLAN GRUNDSCHULE

„WER DIE GEOMETRIE BEGREIFT,

VERMAG IN DIESER WELT ALLES ZU VERSTEHEN.“

(Galileo Galilei)

Sehr geehrte Damen und Herren, liebe Eltern,

als im Jahr 2002 der neue Rahmenplan Grundschule mit dem Teilrahmenplan Mathematik veröffentlicht wurde, leitete er für den Unterricht in der Grundschule eine grundlegende Veränderung ein. Der Teilrahmenplan formulierte verbindliche Anforderungen an den Mathematikunterricht der Grundschule und legte fest, welche Kompetenzen die Schülerinnen und Schüler am Ende der 4. Klasse im Fach Mathematik erworben haben sollten.

Die vorliegende Neubearbeitung des Teilrahmenplans Mathematik beinhaltet nunmehr die Anpassung an die Bildungs- standards der KMK für Mathematik, die Einarbeitung aktueller fachdidaktischer Erkenntnisse und Prinzipien sowie Rückmeldungen der Schulen und Lehrkräfte aus ihrer Erfahrung mit dem bisherigen Teilrahmenplan Mathematik.

Ziel des Mathematikunterrichts ist es, bei Kindern ein Grundverständnis für mathematische Zusammenhänge aufzu- bauen. Es gilt Neugier, Motivation und Lernfreude zu erhalten, Weiterlernen anzuregen sowie Wissens- und Kompe- tenzerweiterung zu ermöglichen. Und wenn, wie mir immer wieder berichtet wird, Kinder Mathematik als spannend bezeichnen und begeistert fragen: „Können wir morgen wieder Mathematik machen?“, dann haben wir den richtigen Weg eingeschlagen, einen Weg, der das Lehren und das Lernen stetig optimiert.

Diesbezüglich liefert der Teilrahmenplan Mathematik wichtige verbindliche Vorgaben. Durch seine ausführliche Darstellung ist er aber auch ein Unterstützungsinstrument für Lehrkräfte, um den Mathematikunterricht der Grund- schule erfolgreich weiterzuentwickeln.

Mein herzlicher Dank gilt allen, die an der Überarbeitung des Teilrahmenplans mitgewirkt haben.

Vera Reiß

Ministerin für Bildung, Wissenschaft, Weiterbildung und Kultur

Mainz, im Dezember 2014

Information

Der Teilrahmenplan Mathematik tritt zum 01.08.2015 in Kraft.

Der bisherige Teilrahmenplan Mathematik verliert zum gleichen Zeitpunkt seine Gültigkeit.

Impressum:

Herausgegeben vom

Ministerium für Bildung, Wissenschaft, Weiterbildung und Kultur Mittlere Bleiche 61

55116 Mainz

Weitere Informationen zum Rahmenplan Grundschule: www.grundschule.bildung-rp.de

Redaktion:

Waltraud Bank (verantwortlich) Erscheinungstermin: Dezember 2014

Autorinnen und Autoren, Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter: letzte Seite

Herstellung: TypoWolf Mainz Schulstraße 24

55124 Mainz www.typowolf.com

RAHMENPLAN GRUNDSCHULE

INHALT

Vorwort……………………………………………………………. 3

Inhaltsverzeichnis…………………………………………………. 5

Vorbemerkungen………………………………………………….. 6

1. Leistungsprofil………………………………………………….. 8
2. Wissens-, Könnens- und Kompetenzentwicklung……………………. 9
   1. Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen…………………… 9
   1. Allgemeine mathematische Kompetenzen………………………. 10
3. Didaktisch-methodische Leitvorstellungen………………………… 13
4. Orientierungsrahmen…………………………………………. 18
   1. Raum und Form……………………………………………. 19
   1. Zahlen und Operationen……………………………………. 24
   1. Größen und Messen…………………………………………. 29
   1. Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit………………………… 31
5. Feststellen des Lernerfolges………………………………….. 34
6. Qualitätsindikatoren………………………………………….. 36
7. Anhang………………………………………………………… 38
   1. Aufgabenbeispiele zur Illustration der prozessbezogenen Kompetenzen. 38
   1. Schriftliche Subtraktion…………………………………….. 45

VORBEMERKUNGEN

Kinder begegnen von Anfang an überall in ihrer Umwelt geometrischen Formen und Zahlen. Viele Kinder können bereits vor Schuleintritt Anzahlen bestimmen und wissen, dass Zahlen für Mengen und Rangfolgen verwendet werden können. Sie interessieren sich für mathematische Phänomene, stehen mathematischen Problemen unbefangen und vorurteilsfrei gegenüber und wollen ihre erworbenen Kenntnisse und Erfah- rungen weiterentwickeln.

„Der Mathematikunterricht der Grundschule greift die frühen Alltagserfahrungen auf, vertieft und erweitert sie und entwickelt daraus grundlegende mathematische Kompetenzen.“ (Bildungsstandards der KMK im Fach Mathematik für den Primarbereich, Beschluss vom 15.10.2004)

Dabei orientiert er sich an den individuellen Voraussetzungen der Schülerinnen und Schüler, knüpft daran an und unterstützt sie in ihren individuellen Lernwegen, beim Lernen in der Gruppe und beim Kommuni- zieren über mathematische Sachverhalte.

Er schafft damit das Fundament für die lebenslange Auseinandersetzung mit mathematischen Phänomenen und Strukturen. Gleichzeitig dient er der Anbahnung einer informatischen Grundbildung.

Mathematikunterricht trägt dazu bei, die positive Einstellung zur Mathematik und das natürliche Interesse an der Mathematik in der Grundschule und über die Grundschule hinaus zu erhalten und weiter zu entwi- ckeln. Sowohl Selbstvertrauen als auch Selbstbewusstsein der Kinder werden damit zunehmend gestärkt.

Im Fach Mathematik erwerben die Kinder wichtige Schlüsselkompetenzen, die die Voraussetzung für eine erfolgreiche Beteiligung am Unterricht in den MINT-Fächern (Mathematik-Informatik-Naturwissenschaft- Technik) darstellen.

Nach den Bildungsstandards der KMK ist die Entfaltung grundlegender Bildung Basis für weiterführendes Lernen und für die Fähigkeit zur selbstständigen Kulturaneignung. Die Förderung mathematischer Kom- petenzen ist dabei ein wesentlicher Bestandteil des Bildungsauftrages.

Der Teilrahmenplan Mathematik wurde im Jahr 2002 in Kraft gesetzt. 2004 beschloss die KMK die Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich. Dies machte die vorliegende Anpassung des Teilrahmenplans Mathematik an die in den Bildungsstandards definierten inhaltsbezogenen und allgemeinen (prozessbezogenen) Kompetenzen notwendig.

Darüber hinaus wurde in die Überarbeitung des Teilrahmenplans der Bereich „Daten, Häufigkeit und Wahr- scheinlichkeit“ integriert.

Bei der Überarbeitung des Teilrahmenplans Mathematik handelt es sich insgesamt nicht um eine grund- legende inhaltliche Neugestaltung, sondern um eine Anpassung an die KMK-Bildungsstandards. Hierbei sind die während der letzten Jahre zahlreich im Unterricht gewonnenen Erfahrungen sowie die empirisch gewonnenen aktuellen fachdidaktischen Erkenntnisse bzw. aktuellen fachdidaktischen Prinzipien eingeflos-

sen. Dies wird insbesondere an dem deutlich strukturierteren und ausführlicheren Orientierungsrahmen erkennbar. Er zeigt detailliert entfaltet die Kompetenzen auf, die von Schülerinnen und Schülern am Ende des vierten Schuljahres erwartet werden. Die zusätzliche Aufschlüsselung der Kompetenzerwartungen zum Ende des zweiten Schuljahres soll den Lehrkräften als Orientierung dienen. Der Übergang ist als fließend anzusehen, was durch die fehlende Trennlinie unterstrichen wird.

Die Anpassung enthält einen Anhang, der Möglichkeiten der Umsetzung der Bildungsstandards konkretisiert.

Der Teilrahmenplan Mathematik ist bewusst als Unterstützungsinstrument für die Lehrkräfte des Landes verfasst und kann u.a. als Grundlage für die schuleigenen Arbeitspläne sowie für die Auswahl und Einschät- zung von Lehrwerken in Mathematik genutzt werden.

1.     LEISTUNGSPROFIL

Das Leistungsprofil beschreibt auf Grundlage der Bildungsstandards, welche mathematischen Fähigkeiten und Fertigkeiten von Kindern am Ende ihrer Grundschulzeit erwartet werden. Grundsätzlich sind die Kompetenzerwartungen nach oben hin offen.

• Die Kinder haben Kenntnis und Verständnis mathematischer Begriffe und Arbeitsweisen in den In- haltsbereichen Raum und Form, Zahlen und Operationen, Größen und Messen sowie Daten, Häufig- keit und Wahrscheinlichkeit (in den KMK-Bildungsstandards bezeichnet als mathematische Leitideen).

• Sie nehmen Situationen ihrer Lebenswelt unter mathematischen Aspekten wahr und übertragen Sach- probleme in die Sprache der Mathematik (modellieren).

• Sie verfügen über Kompetenzen im Finden, Erklären, Darstellen und Begründen von Strategien zur Lösung von mathematischen Problemen.

• Sie haben räumliches Vorstellungsvermögen entwickelt, erkennen geometrische Muster und Beziehun- gen und operieren mit geometrischen Figuren.

• Sie haben Zahlenvorstellungen entwickelt, orientieren sich sicher im Zahlenraum und rechnen auf der Basis von Grundvorstellungen der vier Grundrechenarten unter Einsatz vorteilhafter operativer Strategien.

• Sie bilden geometrische und arithmetische Muster und Strukturen, erkennen und beschreiben deren Gesetzmäßigkeiten.

• Sie sind sicher im Umgang mit Größen (Messen, Schätzen, Rechnen mit und Umrechnen von Größen, Bauen und Zeichnen).

• Sie haben erste Erfahrungen mit kombinatorischen Strategien sowie im Erfassen und Darstellen von Daten gemacht und beschreiben zufallsbedingte und nicht zufallsbedingte Situationen.

2.      WISSENS-, KÖNNENS- UND KOMPETENZENTWICKLUNG

Die Bildungsstandards beschreiben ein modernes, zeitgemäßes Mathematikbild, das deutlich über Fertig- keiten und Arithmetik allein hinausgeht. Sie stellen die Inhaltsbereiche ausgewogen dar und charakterisieren darüber hinaus in den allgemeinen Kompetenzen ein strategiebewusstes Vorgehen.

Mathematisches Wissen und Kompetenzen im Sinne der Bildungsstandards sind nur langfristig zu ent- wickeln und nicht kurzfristig zu unterrichten. Die allgemeinen mathematischen Kompetenzen werden prozessbegleitend an den verschiedenen Inhalten erworben und weiterentwickelt und auch als „prozess- bezogene Kompetenzen“ bezeichnet.

Diese Inhaltsbereiche sind in den KMK-Bildungsstandards als gleich bedeutsam ausgewiesen.

Inhaltlicher Ausgangspunkt sind die Bereiche Raum und Form sowie Zahlen und Operationen. Der in den Bildungsstandards ausgewiesene Inhaltsbereich Muster und Strukturen ist übergreifend und findet sich in allen hier genannten Inhaltsbereichen wieder. Er ist integraler Bestandteil jeden mathematischen Han- delns und vernetzt unterschiedliche Bereiche. Seine Inhalte sind im Orientierungsrahmen konkretisiert.

2.1  Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen

Raum und Form

• sich in der Ebene und im Raum orientieren
• elementare geometrische Figuren kennen und herstellen
• elementare geometrische Abbildungen verwenden
• Verfahren zum Messen von Flächeninhalten und Rauminhalten anwenden

Zahlen und Operationen

• Zahlvorstellungen besitzen
• Zahldarstellungen und Zahlbeziehungen verstehen
• Rechenoperationen verstehen und beherrschen
• in Kontexten rechnen
• Nähern und Schätzen: überschlägig rechnen
• operatives Üben unter Erkennen und Nutzen von Mustern und Strukturen
• kombinatorische Zählstrategien entwickeln und nutzen (Zählen von Mustern)

Größen und Messen

• Größenvorstellungen besitzen
• mit Größen rechnen
• mit Größen in Sachsituationen umgehen
• Abhängigkeit, Veränderung und Wachstum: Zusammenhänge zwischen Daten und Messergebnissen

Daten, Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit

• Daten erfassen und darstellen
• Wahrscheinlichkeit von Ereignissen in Zufallsexperimenten vergleichen
• Kombinatorische Zählstrategien nutzen (im Zusammenhang mit Zufallsexperimenten) Die einzelnen Inhaltsbereiche werden im Orientierungsrahmen konkretisiert.

2.2  Allgemeine mathematische Kompetenzen (prozessbezogene mathematische Kompetenzen)

Den Bildungsstandards zur Mathematik für den Primarbereich (KMK 2004) entsprechend, werden im vor- liegenden Teilrahmenplan inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen und allgemeine mathematische Kompetenzen unterschieden.

Die ersten beschreiben Kompetenzerwartungen, die unmittelbar und differenziert auf bestimmte mathe- matische Inhalte bezogen sind. Diese inhaltsbezogenen Kompetenzerwartungen sind im vorliegenden Teil- rahmenplan im Abschnitt 2.1 differenziert entfaltet. Dabei sind über die Bildungsstandards hinaus sowohl Kompetenzerwartungen zum Ende des zweiten Schuljahres als auch Kompetenzerwartungen zum Ende des vierten Schuljahres ausgewiesen. Ferner sind die inhaltsbezogenen Kompetenzerwartungen so aus- differenziert, dass sie in dieser Form als Unterstützung zur Unterrichtsplanung dienen können.

Das aktuelle Mathematikbild der Bildungsstandards ist allerdings nicht allein durch die inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen charakterisiert. Über die Gegenstände hinaus erfährt die Art und Weise, wie man im Rahmen mathematischer Aktivitäten mit den Gegenständen verfährt und mit ihnen umgeht, eine eigene Kennzeichnung. Diese über die spezifischen Arten des Umgehens mit bestimmten Gegen- ständen hinausgehenden übergeordneten Kompetenzen werden in den Bildungsstandards als allgemeine mathematische Kompetenzen bezeichnet. Da sie in erster Linie die Aktivitäten und Vorgehensweisen im Umgehen mit mathematischen Gegenständen charakterisieren, werden sie auch als prozessbezogene mathematische Kompetenzen benannt.

Diese prozessbezogenen mathematischen Kompetenzen sind in den Bildungsstandards als Darstellen, Kommunizieren, Argumentieren, Modellieren und Problemlösen ausgewiesen. Sie sind in dieser Form in den vorliegenden Teilrahmenplan übernommen worden; allerdings wurde die Reihenfolge geändert und einige Kompetenzerwartungen wurden ergänzt.

Grundlegende Fertigkeiten nehmen eine gewisse Sonderstellung unter den Kompetenzen ein. Kompe- tenzerwartungen in diesem Bereich sind etwa basales Vermögen zum Austausch im Gespräch, Erfassen der äußeren Organisation einer Arbeitssituation, Handhaben von Schreib- und Zeichengerät, etc. (Unter dem Inklusionsgesichtspunkt wird dieser Bereich auch im Mathematikunterricht nach jeweils situativ erforder- lichen Grundfertigkeiten und darauf bezogenen Förderungen differenziert ausgewiesen.)

Darstellen bezeichnet das zumeist nicht flüchtige Ausformen und Festhalten mathematischer Objekte in Gegenständen, Bildern oder Zeichen, um diese sich oder anderen zu vergegenwärtigen und angemessen bearbeiten zu können. Darstellen umfasst im Einzelnen folgende Kompetenzerwartungen:

D1 für das Bearbeiten mathematischer Probleme geeignete Darstellungen entwickeln, auswählen und nutzen

D2 eine Darstellung in eine andere übertragen

D3 Darstellungen miteinander vergleichen und bewerten

Kommunizieren bezeichnet hier das selbstständige deutungssichere Mitteilen von Beschreibungen, Tatbeständen, Vorgehensweisen und Argumenten (s.u.) an andere, zumeist auf der Basis von gemein- sam vereinbarten Bezeichnungen und Bedeutungen. Kommunizieren umfasst im Einzelnen folgende Kom- petenzerwartungen:

K1 eigene Vorgehensweisen beschreiben, Lösungswege anderer verstehen und gemeinsam darüber reflektieren

K2 mathematische Fachbegriffe und Zeichen sachgerecht verwenden

K3 Aufgaben gemeinsam bearbeiten, dabei Verabredungen treffen und einhalten

K4 Überlegungen und Lösungswege so dokumentieren, dass sie anderen mitzuteilen sind

Argumentieren bezeichnet die Fähigkeit im Rahmen vereinbarter Regelwerke und gemeinsam akzeptierter Tatbestände schlussfolgernd zu denken, Korrektes von Unkorrektem zu unterscheiden und weiterführende Gedanken zu entwickeln. Argumentieren umfasst im Einzelnen folgende Kompetenzerwartungen:

A1 mathematische Aussagen hinterfragen und auf Korrektheit prüfen

A2 mathematische Zusammenhänge erkennen und Vermutungen entwickeln

A3 Begründungen suchen und nachvollziehen

Die prozessbezogenen Kompetenzen Darstellen, Kommunizieren und Argumentieren verweisen darauf, dass Mathematik nicht allein als eine individuelle Befassung zu sehen ist, sondern auch in der Gemeinschaft von Lernenden als Ergebnis gemeinsamer geistiger Konstruktion. Abgesehen davon, dass Darstellen und Argumentieren auch in der individuellen Befassung mit Mathematik erscheinen, also in der „Korrespondenz des Individuums mit sich selbst“, kennzeichnen Darstellen, Kommunizieren und Argumentieren wesentlich den interaktiven Charakter mathematischen Tuns. Sie verweisen darauf, dass soziales Lernen nicht nur aus allgemeinen erziehungswissenschaftlichen Gründen angemessen und sinnvoll erscheint, sondern auch aus Gründen, die genuin im jeweiligen Fach, hier im Fach Mathematik, basiert sind.

Modellieren bezeichnet die Fähigkeit, Mathematik und andere, in der Regel lebensweltliche Gegenstände, zueinander in Beziehung zu setzen und daraus Schlüsse zu ziehen. Modellieren umfasst im Einzelnen folgende Kompetenzerwartungen:

M1 Sachtexten und anderen Darstellungen der Lebenswirklichkeit die relevanten Informationen entnehmen

M2 Sachprobleme in die Sprache der Mathematik übertragen, innermathematisch lösen und diese Lösungen auf die Ausgangssituation beziehen

M3 zu Termen, Gleichungen und bildlichen Darstellungen Sachaufgaben formulieren

Problemlösen bezeichnet die Fähigkeit, Lösungen von mathematischen Problemen zu erarbeiten, dabei verschiedene Wege zu erproben und schließlich Lösungsversuche und Lösungsverfahren planen zu können. Problemlösen umfasst im Einzelnen folgende Kompetenzerwartungen:

P1 mathematische Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten bei der Bearbeitung problemhaltiger Aufgaben anwenden

P2 eigene und vorbereitete Lösungsstrategien entwickeln und nutzen (z. B. systematisch probieren)

P3 Zusammenhänge erkennen, nutzen und auf ähnliche Sachverhalte übertragen

Im Anhang finden sich Aufgabenbeispiele zur Illustration prozessbezogener Kompetenzen.

Darstellen Kommunizieren

Argumentieren Modellieren

Problemlösen

Raum und Form

Zahlen und Operationen Größen und Messen

Daten, Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit

Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen

Übergreifende inhaltsbezogene Kompetenz: Muster und Strukturen

3.       DIDAKTISCH-METHODISCHE LEITVORSTELLUNGEN

Die Kinder kommen mit unterschiedlichen mathematischen Vorkenntnissen in die Grundschule. Die Lehrkraft stellt diese unterschiedlichen Lernausgangslagen systematisch fest, greift die vorhandenen Fähigkeiten der Kinder auf und unterstützt ihre weitere Entwicklung unter der Zielsetzung einer grund- legenden mathematischen Bildung.

Dabei entdecken die Kinder die Rolle der Mathematik bei der Erschließung der gegenwärtigen und zukünf- tigen Welt und lernen sie wertzuschätzen. Lernen von Mathematik bedeutet, mathematische Inhalte mit der Lebenswirklichkeit in Zusammenhang zu bringen und durch Aufdecken und Beschreiben von Strukturen das Regelhafte und Gesetzmäßige sichtbar zu machen.

Die folgenden didaktisch-methodischen Leitvorstellungen legen die Grundlagen für einen zeitgemäßen Mathematikunterricht fest.

Über Mathematik sprechen

Zeitgemäßer Mathematikunterricht fördert das Darstellen, Kommunizieren und Argumentieren, indem er die Schülerinnen und Schüler anregt, ihre Gedankengänge darzustellen und in Worte zu fassen. Ausgehend von der Alltagssprache und den Vorkenntnissen der Kinder wird gemeinsam eine funktionale Sprache auf- gebaut, aus der sich die mathematische Fachsprache entwickelt. Im Inhaltsbereich Zahlen und Operationen existiert ein Formelwerk (Symbole und Operationszeichen), das die Kommunikation über mathematische Prozesse erleichtert. Die anderen Inhaltsbereiche erfordern deshalb eine noch intensivere Spracharbeit, denn auch hier müssen die Schülerinnen und Schüler einen verbindlichen Wortschatz für den Mathematikunter- richt zur Beschreibung von Gegenständen und mathematischen Prozessen erwerben und darüber verfügen. Dieser ermöglicht es den Schülerinnen und Schülern, über mathematische Sachverhalte und über ihre eige- nen Arbeitswege zunehmend präziser miteinander zu kommunizieren und mathematisch zu argumentieren (z. B. in Rechenkonferenzen, Baukonferenzen, Konstruktionsbeschreibungen, Gesprächen zum Vermuten, zum Schätzen und zum Entscheiden bei Unsicherheit).

Dabei können unterstützende Sprachmuster Hilfe und Orientierung bieten. Die Fachbegriffe müssen selbst- verständlicher Bestandteil des Unterrichts sein, um vom passiven in den aktiven Wortschatz der Kinder überzugehen.

Um einen mathematischen Begriff zu abstrahieren, müssen die Schülerinnen und Schüler dessen unter- schiedliche Aspekte in verschiedenen Darstellungen und Anwendungszusammenhängen erfahren. So ist gewährleistet, dass sie diesen flexibel anwenden können und ihn nicht nur mit einer bestimmten Situation verbinden.

Grundvorstellungen aufbauen / Prozesse versprachlichen

Mathematische Inhalte lassen sich auf verschiedenen Ebenen darstellen: in realen Situationen, durch Hand- lungen mit strukturiertem Material, durch bildliche und abstrakt symbolische Darstellungen. Dabei ist es von elementarer Bedeutung für ein grundlegendes Verständnis von Mathematik, dass das Kind in die Lage versetzt wird, zwischen den verschiedenen Darstellungsebenen flexibel zu wechseln.

Nicht alle mathematischen Prozesse in der Grundschule lassen sich formal darstellen, etwa mit Rechen- zeichen. Deshalb ist es für den Mathematikunterricht insgesamt unerlässlich, Vorgehensweisen und Stra- tegien zunächst in eigener Sprache und fortschreitend in miteinander vereinbarter Sprache darzustellen. Der Entscheidung der Lehrkraft bleibt es überlassen, inwieweit und zu welchem Zeitpunkt dabei Elemente der mathematischen Fachsprache aufgenommen werden. Zentrales Anliegen aber ist der Aufbau der Kom- petenzen Darstellen, Kommunizieren und Argumentieren.

Die Schülerinnen und Schüler benötigen gezielt ausgewählte, geeignete Veranschaulichungen und Modelle, die flexibel einsetzbar sind und zur Entwicklung tragfähiger Strategien beitragen. Durch die zunehmende Versprachlichung mathematischer Prozesse kann das Kind ein inneres Bild zur Handlung aufbauen und Operationen abgelöst vom Material beherrschen.

Zielorientierung und Offenheit

Moderner Mathematikunterricht findet in einem Spannungsfeld zwischen Zielorientierung und Offenheit statt; er bietet jedem Kind ein qualifizierendes Lernangebot.

Ausgehend von ihren Vorkenntnissen und ihrem Alltagswissen erarbeiten sich die Kinder in einem klar strukturierten Rahmen eine solide mathematische Basis. Die Lehrkraft bereitet den Raum für Aufgaben vor, die unterschiedliche Zugänge zu einem neuen Inhalt oder Verfahren erlauben, die unterschiedlichen Lern- interessen und Lernstilen genügen und Mitentscheidungsanlässe und Handlungsmöglichkeiten zulassen.

Beispiele zur inhaltlichen Ebene:

Zahlraumgrenzen müssen nicht starr festgelegt sein. Unterschiedliche Rechenwege sind zulässig. Vielfäl- tige Übungen zur Festigung der Basisfertigkeiten werden durch herausfordernde Aufgaben und realistische Problemstellungen ergänzt. Der Aufbau von Lernstrategien erfolgt kontinuierlich.

Beispiele zur methodischen Ebene:

Die Lernerwartungen werden thematisiert. Kinder dürfen entsprechend ihrem eigenen Lerntempo unter- schiedlich lange in einem Lernbereich (Zahlenraum) arbeiten, bis sie sichere Grundlagen erworben haben. Diese Grundlagen sind in geeigneter Form festzuhalten. Wichtig sind klare Aufgabenstellungen, die Ein- stiegshilfen aus dem Erfahrungsbereich der Kinder und Kontrollmöglichkeiten bieten sowie wiederkehrende Strukturen (Rituale, Fixpunkte, geregelte Abschlüsse).

Beispiele zur kommunikativen/interaktiven Ebene:

Die Kinder erhalten vielfältige Gelegenheit, eigene Ideen zu äußern und über Vor- und Nachteile von Rechenverfahren und unterschiedliche Lösungsstrategien sprechen zu können.

Aktiv-konstruierendes Lernen

Im Mathematikunterricht haben entdeckendes, nachvollziehendes, informierendes und aktiv-konstru- ierendes Lernen in ausgewogener Form ihre Berechtigung. Durch die regelmäßige, selbstständige und aktive Auseinandersetzung mit komplexen Fragestellungen in Lernarrangements erarbeiten die Kinder sich

schrittweise das Verstehen mathematischer Zusammenhänge. Die Lehrkraft stellt aufgrund ihrer Fachkom- petenz eine wesentliche Quelle des Wissenserwerbs für die Schüler dar. Sie bereitet das Lernangebot vor, begleitet die Schülerinnen und Schüler, leitet an und informiert.

Automatisierendes, operatives und intelligentes Üben

Zur Sicherung und Festigung der erworbenen Fertigkeiten und Erkenntnisse ist regelmäßiges Üben unab- dingbar. Voraussetzung für erfolgreiches Üben ist das Verstehen der zu übenden Operationen, Zusammen- hänge, Rechengesetze, -strategien und -verfahren.

Üben hat unterschiedliche Funktionen und Formen:

• Automatisierendes Üben hat zum Ziel, basale Tatsachen und Strategieelemente schnell abrufen zu können. Es festigt die Grundfertigkeiten und schult mathematische Grundtätigkeiten.
• Operatives Üben ist Üben unter Entdecken und Nutzen mathematischer Muster und Strukturen. Es lenkt den Blick auf Zusammenhänge, bietet strukturiertes Übungsmaterial und eröffnet die Chance, über den aktuellen Inhalt hinauszugehen.
• Intelligentes Üben besteht im ausgewogenen Nutzen von automatisierenden und operativen Übungs- elementen.

Erfolgreiches Üben braucht bekannte Aufgabenformate mit sinnvollen Variationen sowie Möglichkeiten der Kontrolle und Reflexion. Üben erfordert Einsicht, Konzentration und Regelmäßigkeit.

Durch zielgerichtetes Anwenden in veränderten Situationen werden die Fähigkeiten zur Generalisierung und zum Transfer gestärkt.

Umgang mit Fehlern und Schwierigkeiten

Fehler gehören zum Lernen, sie sind natürlicher Bestandteil einer verstehenden Auseinandersetzung mit Mathematik. Dabei ist zu unterscheiden zwischen den Fehlern, die durch mangelndes mathematisches Verständnis bedingt sind und solchen Fehlern, die auf der momentanen Befindlichkeit des Kindes oder auf äußeren Umständen beruhen. Oft enthalten fehlerhafte Bearbeitungen viele korrekte Bestandteile, welche die Lehrkraft würdigen und an die sie anknüpfen kann.

Deshalb ist es für den Aufbau einer produktiven Lernatmosphäre wichtig, dass fehlerhafte Bearbeitungen nicht nur zugelassen, sondern konstruktiv in den Lernprozess einbezogen werden.

Ein problemorientierter Unterricht bietet genügend Zeit für die gemeinsame Suche nach Lösungswegen und die ausführliche Diskussion und Analyse der Fehler. So können Einsichten gewonnen und das eigene Mathematikverständnis der Schülerinnen und Schüler vertieft werden.

Darüber hinaus ist die fachdidaktisch kompetente Analyse von Fehlern durch die Lehrkraft wichtig (päda- gogische Diagnostik). Sie zeigt, wo das Kind steht, welche Fehlvorstellungen oder Missverständnisse vor- liegen und ermöglicht eine wirkungsvolle individuelle Unterstützung.

Fördern und fordern

Um Kinder frühzeitig und effektiv fördern und fordern zu können, ist eine differenzierte Feststel- lung der Lernausgangslage unerlässlich. Geeignete Lernsituationen ermöglichen nicht nur das Er- kennen von Symptomen und das Beurteilen von Produkten, sondern geben auch Einblick in die Gedankengänge der Kinder (Prozessorientierung).

Dieses erfordert Fachwissen der Lehrkraft über

• zeitgemäße Mathematikdidaktik,
• geeignete Formen der pädagogischen und mathematikdidaktischen Diagnostik,
• typische Lernprozesse,
• sich gegebenenfalls entwickelnde Fehlvorstellungen,
• entsprechende Fördermöglichkeiten.

Um allen Kindern den Erwerb tragfähiger Grundlagen zu ermöglichen, konzipiert und nutzt die Lehrkraft Aufgabenformate und Lernumgebungen, die im gleichen inhaltlichen Kontext ein breites Spektrum an un- terschiedlichen Anforderungen und Schwierigkeiten abdecken. Die Bildungsstandards unterscheiden die Anforderungsbereiche „Reproduzieren“ (AB I), „Zusammenhänge herstellen“ (AB II), und „Verallgemeinern und Reflektieren“ (AB III). Werden in einem differenzierenden und individualisierenden Unterricht (Teil-) Aufgaben aus den unterschiedlichen Anforderungsbereichen bereitgestellt, können alle Kinder erfolgreich am gleichen Inhalt arbeiten. So wird gewährleistet, dass sowohl individuelles Arbeiten („Lernen auf eige- nen Wegen“) als auch ein gemeinsamer Austausch („Lernen voneinander“) möglich ist.

Mathematische Lernumgebungen

Aufgaben bilden ein zentrales Organisationselement des Mathematikunterrichts. Sie sind seine kleinsten Organisationseinheiten. Aufgaben mit ähnlicher Struktur bilden Aufgabenfelder, sie basieren auf einem gemeinsamen Aufgabenformat.

Die Sicht auf Aufgabenformate und Lernumgebungen soll dazu sensibilisieren, in einer Aufgabe die aus- steuerbaren Aufgabenteile zu sehen. So bilden etwa in einer Aufgabe zu Zahlen und Operationen die in der Aufgabe konkret gegebenen Zahlen eine solche Möglichkeit zur Veränderung. Andere Teile beeinflussen den Umfang und den Schwierigkeitsgrad und wiederum andere steuern die Option, die Aufgabe individuell oder kooperativ zu bearbeiten. Ein in diesem Sinne flexibel gesehener, in der Regel schriftlich formulierter, Rahmen für Aufgaben wird als Aufgabenformat bezeichnet.

Lernumgebungen sind „flexible große Aufgabenformate“. Dabei ist die Arbeitssituation im Unterricht unter sozialen und logistischen Gesichtspunkten einbezogen. Eine Lernumgebung entsteht somit aus einem Auf- gabenformat durch die konkrete Realisierung im Unterricht. Hier muss die Lehrkraft das Aufgabenformat der aktuellen Unterrichtssituation anpassen. Als Unterstützung dienen die folgenden sechs Planungsideen:

Planungsideen zum Design „Runder Tisch“

P1 Gegenstand und Sinn, Lebensweltbezug

P6 Vernetzen mit anderen Lernumgebungen

P2 Artikulation, Kommunikation, soz. Organisation

P5 Evaluieren

P4 Logistik

P3 Differenzieren

© Wollring

Das Bild der Planungsideen „am runden Tisch“ soll verdeutlichen, dass diese je nach Arbeitssituation unterschiedlich großen Einfluss auf die Gestaltung der Lernumgebung haben. Zur Reflexion der Planung einer Lernumgebung dienen folgende Fragen:

Planungsidee P1 Gegenstand und Sinn, Lebensweltbezug

1. Welcher mathematische Gegenstand, welche mathematische Strategie wird erarbeitet?
2. Welchen Lebensweltbezug hat die Lernumgebung, wenn überhaupt?

Planungsidee P2 Artikulation, Kommunikation, Soziale Organisation

• Welche veränderbaren Spielräume zum begleitenden Darstellen des Experimentierens, welche Dokumentationsmöglichkeiten zum Festhalten der Ergebnisse werden zur Verfügung gestellt und wie stellen die Schülerinnen und Schüler ihren Arbeitsweg und ihre Arbeitsergebnisse dar?
• Wie können sich Schülerinnen und Schüler über ihre Arbeit mit der Lehrkraft verständigen, wie miteinander? Unterstützt die angebotene Artikulation das gemeinsame Arbeiten der Kinder?

Planungsidee P3 Differenzieren

• Wie lässt sich das Aufgabenformat variieren?
• Bieten die Aufgaben Möglichkeiten zur natürlichen Differenzierung?

Planungsidee P4 Logistik

• Ist die Lernumgebung mit angemessenem Zeitaufwand und mit vertretbarem materiellem Aufwand einzurichten?
• Erfordert die Lernumgebung viel individuelle Zuwendung oder unterstützt sie zunehmend das selbst- ständige Arbeiten der Kinder?

Planungsidee P5 Evaluation

• Lassen sich Arbeitswege, Strategien oder anerkennenswerte Teilleistungen identifizieren und einschät- zen?
• Lassen sich die Ergebnisse mit einfachen und schnellen Verfahren überprüfen? Inwieweit sind die Kon- trollverfahren auch Schülerinnen und Schüler für die Eigenarbeit zugänglich zu machen?

Planungsidee P6 Vernetzen mit anderen Lernumgebungen

1. Welche Verbindungen hat die Lernumgebung zu anderen Lernumgebungen, ggf. fächerübergreifend?
2. Sind die Arbeitsweisen und Ergebnisse der Lernumgebung für Anwendungen innerhalb der Mathematik oder darüber hinaus geeignet?

4.   ORIENTIERUNGSRAHMEN

Die Inhaltsbereiche des Orientierungsrahmens

• Raum und Form
• Zahlen und Operationen
• Größen und Messen
• Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

charakterisieren ein zeitgemäßes Mathematikbild, das insgesamt durch

• Muster und Strukturen

bestimmt ist. Sie orientieren sich an den inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen der Bildungs- standards, die im Orientierungsrahmen detailliert entfaltet werden. Die Inhaltsbereiche stehen in einem zeitgemäßen Mathematikunterricht nicht unverbunden nebeneinander, vielmehr werden sie im Unter- richtshandeln aufeinander bezogen und miteinander verknüpft.

Der Orientierungsrahmen zeigt beschreibend und detailliert entfaltet die Kompetenzen auf, die von Schü- lerinnen und Schülern am Ende des 4. Schuljahres erwartet werden (vgl. Vorbemerkungen). Er soll in dieser Detailliertheit das Planen von Unterricht unterstützen. Darüber hinaus bietet er Freiräume zur Erweiterung und individuellen Gestaltung.

Die Lehrkraft kann, mit Blick auf die individuellen Fähigkeiten einzelner Schülerinnen und Schüler, über die formulierten Erwartungen hinausgehen.

Die allgemeinen und inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen werden stets an konkreten Inhal- ten entwickelt. Zur besseren Orientierung werden daher den Kompetenzen Inhalte zugeordnet, die sich in besonderer Weise eignen, die erwarteten Kompetenzen zu erreichen.

Der Orientierungsrahmen ist als spiralförmiges Curriculum zu verstehen, in dem Inhalte immer wieder aufgenommen, schrittweise ausgebaut und aus einer anderen Perspektive betrachtet werden. Dabei wird auf Vorhergehendes bzw. Gelerntes zurückgegriffen, um Vernetzungen im Denken zu ermöglichen. Ein spi- ralförmiges Vorgehen erfordert eine langfristige, zielgerichtete und detaillierte Planung.

4.1  Raum und Form

4.1.1  Sich in der Ebene und im Raum orientieren

• Elementare geometrische Figuren kennen und herstellen

4.1.3  Elementare geometrische Abbildungen verwenden

• Verfahren zum Messen von Längen, Flächeninhalten und Rauminhalten anwenden

4.2  Zahlen und Operationen

4.2.1  Zahlen

• Zahldarstellungen und Zahlbeziehungen verstehen

• Rechenoperationen verstehen und flexibel anwenden

4.3  Größen und Messen

• Daten, Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit

5.   FESTSTELLEN DES LERNERFOLGES

Jedes Kind hat Anspruch auf eine Rückmeldung über die individuelle Lernentwicklung und die erzielten Lernfortschritte. Hierdurch erhalten die Schülerinnen und Schüler Aufschluss über den erreichten Lernfort- schritt, der Lehrkraft bieten sie Orientierung bei der Planung ihres Unterrichts. Leistungsfeststellung und

-bewertung dienen somit nicht ausschließlich der Beurteilung, sondern sind auch als Basis für Lern- und Beratungsgespräche zu sehen, die Lernfortschritte oder Lernhindernisse deutlich machen und Grundlage bieten für Maßnahmen zur individuellen Förderung.

Ein zeitgemäßer Mathematikunterricht fördert durch das Eingehen auf die individuellen Lernvoraussetzun- gen und Lernfortschritte der Schülerinnen und Schüler neben der Freude am Umgang mit mathematischen Inhalten auch die Leistungsbereitschaft und das Leistungsvermögen der Grundschulkinder.

Auf der Basis einer Lernatmosphäre, die von Ermutigung, Bestärkung, Anerkennung von Teilleistungen und von Lernfortschritten und Beratung durch die Lehrkraft geprägt ist, können Schülerinnen und Schüler ihre mathematischen Kompetenzen weiterentwickeln.

Im Mathematikunterricht basiert die Feststellung des Lernerfolges sowohl auf den inhaltsbezogenen wie auch auf den allgemeinen mathematischen (prozessbezogenen)Kompetenzen.

Neben den schriftlichen oder mündlichen punktuellen Leistungsfeststellungen wird der Lernprozess der Schülerinnen und Schüler begleitet, beschrieben und belegt. Hierzu dienen Dokumentationen in Form von Portfolios oder Lerntagebüchern sowie gezielte und dokumentierte Beobachtungen der Lehrkraft.

Beiträge zum Unterrichtsgespräch, die Anwendung fachspezifischer Arbeitsformen, die Präsentation und Reflexion von Lösungswegen, die in Partner- oder Gruppenarbeit erzielten Ergebnisse oder auch die Fähig- keit zur Selbstorganisation können zur Leistungsbeurteilung heran gezogen werden.

Die erwarteten Fähigkeiten und Fertigkeiten orientieren sich an den Anforderungen der Bildungsstandards und des Teilrahmenplans. Sie müssen im Unterricht hinreichend erarbeitet und geübt werden.

Alle Inhaltsbereiche des Mathematikunterrichts (Raum und Form, Zahlen und Operationen, Größen und Messen sowie Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit) sind dabei angemessen zu berücksichtigen.

Vorab vereinbarte Kriterien der Leistungsfeststellung und -beurteilung müssen für alle Beteiligten trans- parent sein.

Für die Mathematik geeignete Bewertungskriterien sind:

• Kennen und korrektes Anwenden von mathematischen Begriffen und Operationen
• Sicherheit im Abrufen von Kenntnissen und Ausführen von Fertigkeiten
• Richtigkeit von Ergebnissen und Teilergebnissen
• Mündliche und schriftliche Darstellungsfähigkeit
• Plausibilität von Lösungswegen und Überlegungen

• Fähigkeit zum Transfer vorhandenen Wissens und Könnens
• Anwendung der Mathematik in Alltagssituationen
• Eigenständigkeit und Flexibilität in der Vorgehensweise
• Ausdauer bei der Bearbeitung mathematischer Fragestellungen

Unabhängig von den mathematischen Inhaltsbereichen sind in jedem Fall die allgemeinen mathematischen (prozessbezogenen) Kompetenzen in die Leistungsfeststellung und -beurteilung einzu- beziehen:

• Im Bereich Argumentieren/Kommunizieren geben die Aussagen der Schülerinnen und Schüler in Lern-

gesprächen, Präsentationen und pädagogischen Interviews Aufschluss über die Entwicklung ihrer Kom- petenzen.

• Ihre Fähigkeit zum Modellieren/Darstellen kann über ihre Aufzeichnungen in Lerntagebüchern und Port-

folios oder bei Präsentationen nachvollzogen werden.

• In Lerngesprächen, über in Unterrichtsbeiträgen gezeigte Transferleistungen oder mathematischen Wettbewerben zeigen sie ihre Kompetenzen im Bereich Problemlösen.

6.   QUALITÄTSINDIKATOREN

Qualitätsindikatoren spezifisch für den Mathematikunterricht dienen als Anhaltspunkte zur Unterrichtsge- staltung, zur Unterrichtsbeobachtung und zur Evaluation. Sie fassen die voranstehenden Kapitel zusammen.

Guter Mathematikunterricht lässt Kinder ein Verständnis für Mathematik entwickeln. Er erhält (bzw. weckt) ihre Freude an der Mathematik und ihr Zutrauen in die eigenen Lernmöglichkeiten. In einem guten Mathe- matikunterricht sind die Schülerinnen und Schüler aktiv beteiligt.

Schülerinnen und Schüler

• gehen mit Neugier, Selbstvertrauen und Interesse an die Mathematik heran;
• zeigen Anstrengungsbereitschaft, Zielstrebigkeit und Ausdauer;
• arbeiten, experimentieren und üben möglichst selbstständig, sind aber auch bereit, bei Bedarf Unter- stützung anzunehmen;
• kooperieren mit anderen.

Bezogen auf die allgemeinen (prozessbezogenen) Kompetenzen

Darstellen / Kommunizieren

• sprechen sie über Mathematik, indem sie mathematische Fragen stellen, Entdeckungen machen und Vermutungen über mathematische Sachverhalte (Auffälligkeiten, Regeln, Beziehungen, Annahmen, …) aufstellen, bestätigen oder widerlegen;
• stellen sie ihre Wege und Ergebnisse für andere nachvollziehbar und übersichtlich mündlich oder schrift- lich dar;
• kontrollieren sie ihre Ergebnisse nach Möglichkeit selbst;

Argumentieren

• erklären, begründen, vergleichen und bewerten sie ihre Lösungswege;
• kennen und benutzen sie zunehmend Fachbegriffe;

Modellieren

• gewinnen sie aus lebensweltlichen Situationen relevante Informationen (z. B. Zählen, Schätzen, Messen, Befragen, Internetrecherche, Nachlesen);
• sammeln sie Handlungserfahrungen und entwickeln sie Vorstellungsvermögen;
• nutzen sie Anschauungsmaterialien, graphische Darstellungen, digitale und konventionelle Medien, Lernsoftware und technische Hilfsmittel sinnvoll;

Problemlösen

• arbeiten sie kreativ an komplexen, sie herausfordernden Problemen, indem sie Situationen erforschen, eigene Rechenwege und Lösungsstrategien konstruieren, Aufgaben variieren oder erfinden …;
• wenden sie Gelerntes auf neue Sachverhalte an.

Lehrerinnen und Lehrer reflektieren

• ihr persönliches Engagement für Mathematik und sind sich der Bedeutung ihres eigenen Handelns als

Mathematiklehrkraft bewusst;

• ihren Unterricht selbstkritisch und entwickeln ihn weiter;
• ihre eigenen aktuellen fachlichen, didaktischen und methodischen Kompetenzen sowie ihre Medien- kompetenz mit dem Ziel der ständigen Optimierung;
• ihre Rolle als Initiator von Lernprozessen, Berater und Beobachter und ermöglichen den Kindern einen freudvollen Zugang zur Mathematik.

Bei der Unterrichtsplanung

• gehen sie kompetenzorientiert, zielgerichtet und langfristig vor;
• orientieren sie sich an den Erfahrungen und Bedürfnissen der Kinder und der Idee des spiralförmigen Fortschreitens;
• bauen sie regelmäßig Übungsphasen ein und ermöglichen dabei kreatives, ziel- und anwendungsorien- tiertes Üben;
• unterscheiden und trennen sie bewertungsfreie Lern- und Übungsphasen von leistungsorientierten Bewertungsphasen;
• stellen sie adäquate Arbeits- und Veranschaulichungsmittel bereit;
• beziehen sie konventionelle und digitale Medien ein.

Bei der Unterrichtsgestaltung

• gehen sie effektiv mit der zur Verfügung stehenden Unterrichtszeit um und schaffen ein lernförderliches, zielorientiertes Arbeitsklima;
• ermöglichen und fördern sie die Kommunikation und Interaktion der Kinder und ermutigen zum Fragen, Vermuten, Erkunden und Überprüfen;
• bieten sie herausfordernde Situationen für alle Schülerinnen und Schüler an, in denen Aufgaben auf unterschiedlichem Schwierigkeitsniveau bewältigt werden können;
• lassen sie im Unterricht und in Leistungsnachweisen unterschiedliche Lösungswege zu.

Hinsichtlich der Leistungsbeurteilung

• verfügen sie über Kompetenzen der pädagogischen Diagnostik;
• beobachten sie zielgerichtet das Lernen der Kinder und wirken dem Verfestigen ungünstiger Strategien frühzeitig entgegen;
• betrachten sie auch fehlerhafte Bearbeitungen als Teil des Lernprozesses;
• würdigen sie individuelle Entwicklungsprozesse und geben den Kindern regelmäßig in geeigneter Form Rückmeldungen;
• vermitteln sie den Kindern Methoden, sich selbst über ihren Lernstand und ihre Fähigkeiten zu vergewissern.

Lehrerinnen und Lehrer kooperieren

• mit Kolleginnen und Kollegen fächerübergreifend im Team;
• mit anderen Schulen, außerschulischen Einrichtungen und Experten.

7. ANHANG

7.1  Aufgabenbeispiele zur Illustration der prozessbezogenen Kompetenzen

Bei den im Folgenden vorgestellten Aufgaben ist jeweils eine prozessbezogene Kompetenz vorrangig ausgewiesen. Allerdings werden mit den Aufgaben auch weitere prozessbezogene Kompetenzen entwi- ckelt.

Darstellen

Aufgabe 0: Eine Textaufgabe im alten Ägypten

Aufgabe 1: Subtraktionen

Hier haben Klaus und Lisa Aufgaben zum Subtrahieren gelöst.

Schreibe die Aufgabe von Lisa so auf wie Klaus sie schreibt. Und schreibe die Aufgabe von Klaus so auf wie Lisa sie schreibt.

Erwartete prozessbezogene Kompetenzen:

D1 für das Bearbeiten mathematischer Probleme geeignete Darstellungen entwickeln, auswählen und nutzen

D2 eine Darstellung in eine andere übertragen

D3 Darstellungen miteinander vergleichen und bewerten

Aufgabe 2: Falt-Plakate

Dies ist ein Falt-Plakat zu einem Fisch.

Falte den Fisch und prüfe, ob das Plakat an allen Stellen stimmt.

Lass dir eine andere Falt-Figur erklären, lerne wie man sie faltet. Oder nimm eine andere Falt-Figur, die du schon kennst.

Stelle dazu ein Falt-Plakat her.

Erwartete prozessbezogene Kompetenzen:

D1 für das Bearbeiten mathematischer Probleme geeignete Darstellungen entwickeln, auswählen und nutzen

Aufgabe 3: Beispiele zu 100 kg

Ein Schüler aus einer dritten Klasse sagt, er kann sich nicht gut vorstellen was oder wie viel 100 kg sind. Was sagst du ihm?

(Stichworte: Vater?, ein Kofferraum voll mit Feriengepäck, zwei große Säcke Kartoffeln, zehn volle Eimer Wasser, fünf gepackte Koffer für Flugreisen)

Erwartete prozessbezogene Kompetenzen:

D1 für das Bearbeiten mathematischer Probleme geeignete Darstellungen entwickeln, auswählen und nutzen

D3 Darstellungen miteinander vergleichen und bewerten

Kommunizieren

Aufgabe 4: Figur auswählen

Dein Partner hat diese acht Kärtchen mit Figuren vor sich. Sie liegen durcheinander.

Du sollst ihm diese Figur so beschreiben, dass er die Karte dazu eindeutig auswählt und dir gibt:

Erwartete prozessbezogene Kompetenzen:

K2  mathematische Fachbegriffe und Zeichen sachgerecht verwenden K4 Überlegungen und Lösungswege so dokumentieren, dass sie anderen

mitzuteilen sind

Aufgabe 5: Zeichen-Diktat

Du bekommst eine dieser Figuren. Dein Partner bekommt leeres Kästchen-Papier.

Stell dir vor, du sollst ihm am Telefon erklären wie die Figur aussieht, so dass er sie nachzeichnen kann. Schreibe auf, was du ihm am Telefon sagst.

Erwartete prozessbezogene Kompetenzen:

K1 eigene Vorgehensweisen beschreiben, Lösungswege anderer verstehen und gemeinsam darüber reflektieren

K2  mathematische Fachbegriffe und Zeichen sachgerecht verwenden

K3 Aufgaben gemeinsam bearbeiten, dabei Verabredungen treffen und ein- halten

K4 Überlegungen und Lösungswege so dokumentieren, dass sie anderen mitzuteilen sind

Aufgabe 6: Schlagzeile

In einer Zeitung steht als Überschrift: Frauen kaufen doppelt so viele Schuhe wie Männer. Glaubst du, dass das stimmt? Was könnte gemeint sein?

Und wie könnte man das nachprüfen?

Erwartete prozessbezogene Kompetenzen:

K1 eigene Vorgehensweisen beschreiben, Lösungswege anderer verstehen und gemeinsam darüber reflektieren

K4 Überlegungen und Lösungswege so dokumentieren, dass sie anderen mitzuteilen sind

M1 Sachtexten und anderen Darstellungen der Lebenswirklichkeit die relevanten Informationen entnehmen

M2 Sachprobleme in die Sprache der Mathematik übertragen, inner- mathematisch lösen und diese Lösungen auf die Ausgangssituation beziehen

Argumentieren

Aufgabe 7: Teilen von Summen

Du addierst drei aufeinander folgende Zahlen. Wieso ist die Summe stets durch drei teilbar? Aber: Ist die Summe von vier aufeinander folgenden Zahlen stets durch 4 teilbar?

Und: Ist die Summe von fünf aufeinander folgenden Zahlen stets durch 5 teilbar? Gibt es eine Strategie, die dir bei allen drei Aufgaben hilft?

Erwartete prozessbezogene Kompetenzen:

A1 mathematische Aussagen hinterfragen und auf Korrektheit prüfen A2 mathematische Zusammenhänge erkennen und Vermutungen

entwickeln

A3 Begründungen suchen und nachvollziehen

Aufgabe 8: Lücke schließen

Diese Mauerlücke ist mit den gegebenen Steinen zu schließen. Senkrechte Fugen übereinander dürfen nicht sein. Erkläre, wie du vorgehst. Schreibe Dein Vorgehen mit Hilfe von Zahlen auf.

Erwartete prozessbezogene Kompetenzen:

A2 mathematische Zusammenhänge erkennen und Vermutungen entwickeln A3 Begründungen suchen und nachvollziehen

Aufgabe 9: Teilen durch Schneiden oder Falten

Eine runde Torte soll in 12 gleich große Stücke geteilt werden. Jemand schneidet die Tortenstücke immer wieder in zwei Hälften. Wieso führt das nicht zum Ziel? Wie müsste man denn schneiden?

Ein Papierstreifen ist 60 cm lang. Durch Falten soll er in Stücke von je 10 cm Länge eingeteilt werden. Jemand versucht den Streifen mehrfach zu halbieren. Das führt nicht zum Ziel.

Wie müsste man falten, damit Stücke von je 10 cm entstehen?

Erwartete prozessbezogene Kompetenzen

A1 mathematische Aussagen hinterfragen und auf Korrektheit prüfen A2 mathematische Zusammenhänge erkennen und Vermutungen

entwickeln

A3 Begründungen suchen und nachvollziehen

Aufgabe 10: Geänderte Spielregel

Lisa und Hans spielen „Mensch-ärgere-dich-nicht“. Hans schlägt eine geänderte Spielregel vor:

„Du darfst vorrücken, wenn du eine ungerade Zahl wirfst, bei geraden Zahlen nicht. Ich darf vorrücken, wenn ich eine gerade Zahl werfe, bei ungeraden nicht“. Ist das fair?

Erwartete prozessbezogene Kompetenzen:

A2 Mathematische Zusammenhänge erkennen und Vermutungen entwickeln

A3 Begründungen suchen und nachvollziehen

K1 eigene Vorgehensweisen beschreiben, Lösungswege anderer verstehen und gemeinsam darüber reflektieren

Modellieren

Aufgabe 11: Sonnenblumen

Eine Sonnenblume wächst in warmen Sommermonaten etwa 20 bis 30 cm in einer Woche. Sie wird im Mai gesät. Wie hoch ist sie im November? Und wie hoch ist sie im nächsten April?

(Stichworte: (M)eine Biologie-Lehrerin meint: 30 cm pro Woche, aber sie wächst höchstens drei bis vier Monate lang und ist einjährig.)

Erwartete prozessbezogene Kompetenzen:

M1 Sachtexten und anderen Darstellungen der Lebenswirklichkeit die relevanten Informationen entnehmen

M2 Sachprobleme in die Sprache der Mathematik übertragen, innermathe- matisch lösen und diese Lösungen auf die Ausgangssituation beziehen

Aufgabe 12: Warten am Aufzug

Jedes Mal, wenn am Aussichtsturm der Aufzug kommt, nimmt er acht Personen mit nach oben. Und dann braucht er ganze acht Minuten bis er wieder kommt.

Die Warteschlange ist zwanzig Meter lang. An der Treppe steht: „Aufstieg 250 Stufen“

Lohnt sich das Warten? Wie hoch kann der Turm sein?

Erwartete prozessbezogene Kompetenzen:

M1 Sachtexten und anderen Darstellungen der Lebenswirklichkeit die relevanten Informationen entnehmen

M2 Sachprobleme in die Sprache der Mathematik übertragen, innermathe- matisch lösen und diese Lösungen auf die Ausgangssituation beziehen

Aufgabe 13: Weglängen und Zeiten

Lisa (8 Jahre) und Mirko (6 Jahre) gehen morgens gemeinsam zu Fuß zur Schule, das dauert meist 20 Minuten.

Matz (12 Jahre) und Marisa (14 Jahre) sind sportlich und joggen werktags jeden Morgen 30 Minuten. Wie lang ist der Schulweg von Lisa und Mirko, und welche Laufstrecke schaffen Matz und Marisa? (Stichworte: Grundschulkinder etwa 4 km/h, das sind 9 sec für 10 m, größere Kinder etwa 8 km/h, das sind 9 sec für 20 m.)

Erwartete prozessbezogene Kompetenzen:

M1 Sachtexten und anderen Darstellungen der Lebenswirklichkeit die rele- vanten Informationen entnehmen

M2 Sachprobleme in die Sprache der Mathematik übertragen, innermathema- tisch lösen und diese Lösungen auf die Ausgangssituation beziehen

Aufgabe 14: Schuhregal

Familie Fesch, das sind Tobi (8 Jahre), Larissa (14 Jahre), Saskia (16 Jahre), Mutter Eva (36) und Vater Heinz (38 Jahre). Alle lieben Schuhe.

Wie sieht wohl das Schuhregal der Familie aus? Wie viele Fächer hat es, und wie groß sind die?

Erwartete prozessbezogene Kompetenzen:

M1 Sachtexten und anderen Darstellungen der Lebenswirklichkeit die relevanten Informationen entnehmen

M2 Sachprobleme in die Sprache der Mathematik übertragen, innermathe- matisch lösen und diese Lösungen auf die Ausgangssituation beziehen

Aufgabe 15: Kaffeesahne

Manchmal bekommt man zum Kaffee eine kleine Portion Kaffeesahne in einem Plastikschälchen, von dem man oben eine Folie abziehen muss. (Klappt das nicht, spritzt die Milch oft dahin,

wo sie nicht hin soll.)

Auf dem Schälchen steht „10 g“. Und 20 Schälchen kosten 2 Euro.

Ein Fläschchen Kaffeesahne kostet 80 Euro-Cent, darauf steht „100 ml“.

Wie viele Fläschchen ergeben 1 Liter Kaffeesahne? Wie viele Plastikschälchen benötigt man dafür? Was kostet 1 Liter Kaffeesahne in Plastikschälchen? Und was kostet er, wenn man ihn in Fläschchen kauft?

Wer wird seine Kaffeesahne in Fläschchen kaufen

und wer in Plastikschälchen? Was kauft deine Lehrerin/dein Lehrer?

(Stichworte: Einheiten g, ml, Liter, Abfall-Problem, Frischhalte-Problem)

Erwartete prozessbezogene Kompetenzen:

M1 Sachtexten und anderen Darstellungen der Lebenswirklichkeit die relevanten Informationen entnehmen

M2 Sachprobleme in die Sprache der Mathematik übertragen, innermathe- matisch lösen und diese Lösungen auf die Ausgangssituation beziehen

Problemlösen

Aufgabe 16: Geldbeträge schnell addieren

An einem Stand auf dem Straßenfest sind verschiedene Preise notiert: 0,75 €    1,50 €    2 €    2,25 €    3,75 €    5 €    7 €

Die Besucher kaufen meist acht bis zehn Posten ein, und Klaus notiert die Preise auf Zetteln. Er schreibt die Preise nebeneinander, und so etwa sieht ein solcher Zettel dann aus:

Er soll die Preise auf dem Zettel im Kopf möglichst schnell und natürlich richtig addieren. Wie gelingt ihm das am besten? Warum?

Erwartete prozessbezogene Kompetenzen:

P1 mathematische Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten bei der Bearbeitung problemhaltiger Aufgaben anwenden

P2  Lösungsstrategien entwickeln und nutzen (z. B. systematisch probieren)

Aufgabe 17: Würfel aus Holzleisten

Gebaut werden soll ein Würfel mit 18 cm Kantenlänge, ein „Kanten-Modell“.

Es gibt Holzleisten mit Querschnitt 2 cm x 2 cm (2 cm hoch, 2 cm breit), sie sind 2 m lang.

Welche Stücke sind zu schneiden? Wie viele ganze Leisten benötigt man? Welche Stücke bleiben als Reste? Wie viele Leisten benötigt man mindestens?

Geht es auch, wenn die ganzen Leisten nur 1 m lang sind?

Erwartete prozessbezogene Kompetenzen:

P1 mathematische Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten bei der Bearbeitung problemhaltiger Aufgaben anwenden

P2  Lösungsstrategien entwickeln und nutzen (z. B. systematisch probieren)

P3 Zusammenhänge erkennen, nutzen und auf ähnliche Sachverhalte übertragen

Aufgabe 18: Bauwerke aus zwei System-Steinen

Hier sind zwei System-Steine. Sie haben dieselbe Farbe. Jeder hat zwei Reihen mit je 3 Knöpfen.

Wie viele verschiedene Bauwerke kann man daraus bauen?

1. Sprechen, Bauen und Zeichnen sind erlaubt.
2. Nur Sprechen und Schreiben sind erlaubt, kein Material und kein Zeichnen. (Stichworte: Lösungs-Plan entwerfen, Strategie entwerfen, Notierung entwerfen, gleiche und verschiedene Bauwerke bestimmen. Bedingung einhalten: Die Kanten beider Steine sind entweder parallel oder senkrecht zueinander. Aufgaben-Idee: Herget, Jahnke & Kroll)

Erwartete prozessbezogene Kompetenzen:

P1    mathematische Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten bei der Bearbeitung problemhaltiger Aufgaben anwenden

P2    Lösungsstrategien entwickeln und nutzen (z. B. systematisch probieren)

P3 Zusammenhänge erkennen, nutzen und auf ähnliche Sachverhalte übertragen

7.2  Schriftliche Subtraktion

Der Teilrahmenplan Mathematik gibt kein bestimmtes Verfahren zur schriftlichen Subtraktion als verpflichtend vor.

Wir beschreiben im Folgenden drei Verfahren, die in den deutschen Bundesländern unterschiedlich ver- breitet sind und unterschiedlich bewertet werden. Im Rahmen eines eigenverantwortlichen und flexiblen Mathematikunterrichts liegt die Entscheidung, welches Verfahren favorisiert wird, in der Verantwortung der Schule. Dabei sind die Vor- und Nachteile gegeneinander abzuwägen. Wichtig ist die Einsicht der Schülerin oder des Schülers in das Verfahren. Zudem macht es Sinn, leistungsstärkeren Kindern zum geeigneten Zeitpunkt ein zweites Verfahren anzubieten.

Im Folgenden werden drei Verfahren vorgestellt:

1. Abziehen mit Entbündeln – 2. Ergänzen mit Auffüllen – 3. Ergänzen mit Erweitern.

Es gibt zwei weitere zugelassene Varianten: Ergänzen mit Entbündeln und Abziehen mit Erweitern. Dazu wird auf die Fachliteratur verwiesen.

Zunächst die Sprechweise bei den Basistechniken Abziehen und Ergänzen. Gerechnet wird stellenweise von rechts nach links, dabei wird stellenweise von rechts nach links gesprochen und geschrieben. Die im Sprechtext unterstrichenen Ziffern werden begleitend zum Sprechen von rechts nach links unter der Linie als Ergebnis notiert.

Abziehen                                                  Ergänzen
	9 minus 5 gleich 4 8 minus 2 gleich 6 4 minus 3 gleich 1	5 plus 4 gleich 9 plus 6 gleich 8plus 1 gleich 4

Abziehen mit Entbündeln (Abziehen mit „Borgen“)
Das Abziehen mit Entbündeln, auch „norddeutsches Verfahren“ genannt, ist für Kinder geeignet, die beim Subtrahieren vorwiegend kardinale Zahlvorstellungen aktivieren. Es ist gut mit strukturiertem Material zu veranschaulichen, insbesondere mit Geld. Das Prinzip besteht darin, die nächsthöheren Stellen im Minuenden zu entbündeln, wenn die Subtraktion in einer Stelle nicht möglich ist. Die Sprechweise ist „wechseln“ oder „tauschen“.
Schriftbild	Sprechtext	Notierung
	Rechne von oben nach unten.
	9E minus 5E gleich 4E	Notiere Ergebnis 4 unterm Strich.
	2Z minus 8Z geht nicht, ich wechsle 1H in 10Z	Notiere eine 10 oben und einen „Borge-Strich“ in der nächsten Stelle links.
	12Z minus 8Z gleich 4Z	Notiere 3 über der Stelle mit dem Borge-Strich.
	3H minus 2H gleich 1H	Notiere Ergebnis 4 unterm Strich.
		Notiere Ergebnis 1 unterm Strich.
	Rechne von oben nach unten.
	5E minus 9E geht nicht, 1 Z wechseln geht nicht, ich tausche 1H in 9Z und 10E	Notiere eine 10 oben eine 9 links davon oben und einen „Borge-Strich“ in der 4.
	15E minus 9E gleich 6E	Notiere 3 über der Stelle mit dem Borge-Strich.
	9Z minus 8Z gleich 1Z	Notiere Ergebnis 6 unterm Strich.
	3H minus 2H gleich 1H	Notiere Ergebnis 1 unterm Strich.
		Notiere Ergebnis 1 unterm Strich.
Vorteile: Grundvorstellung und Alltagsbezug: wegnehmen, abziehen, entfernenleicht handelnd zu erschließenschließt an die üblichen Strategien des Kopfrechnens anSchreibweise und Sprechweise sind identischin einigen Regionen gängiges Verfahren
Nachteile: wirkt bei der Einführung durch das Durchstreichen zum Teil unübersichtlichSchwierigkeiten bei mehreren Nullen (1000 – 298) und umständlich bei Aufgaben mit kleiner Differenz (702 – 698)Subtraktion mehrerer Subtrahenden schwieriger

Ergänzen mit Auffüllen
Das Ergänzen mit Auffüllen, auch „süddeutsches Verfahren“ genannt, ist geeignet für Kinder, die beim Subtrahieren ergänzend denken und dabei vorwiegend ordinale Zahl-vorstellungen aktivieren. Es ist gut durch ein vorwärts laufendes Zählwerk zu veranschaulichen, aber auch mit Hilfe eines Geld- wechselns, bei dem die herausgebende Person die jeweils erreichten Beträge mündlich benennt und begleitend dazu die Differenzbeträge aushändigt.
Schriftbild	Sprechtext	Notierung
	9 plus 6 gleich 15 1 plus 8 gleich 9 9 plus 3 gleich 12 1 plus 3 gleich 4 4 plus 0 gleich 4	Notiere 6 als Ergebnis unterm Strich und 1 in der nächsten Stelle links dar- über.   Notiere 3 als Ergebnis unterm Strich und 1 in der nächsten Stelle links dar- über.   Diese Null wird gesprochen, aber nicht mehr notiert.
	9 plus 6 gleich 15 1 plus 8 gleich 9 9 plus 1 gleich 10 1 plus 3 gleich 4 4 plus 6 gleich 10 1 plus 3 gleich 4	Notiere 6 als Ergebnis unterm Strich und 1 in der nächsten Stelle links dar- über.   Notiere 1 als Ergebnis unterm Strich und 1 in der nächsten Stelle links dar- über.   Notiere 6 als Ergebnis unterm Strich und 1 in der nächsten Stelle links dar- über.   Notiere 3 als Ergebnis unterm Strich.
Vorteile: Grundvorstellung und Alltagsbezug: Ergänzen, Vorwärtszählen in SchrittenSchreibweise weitgehend fehlersicher, auch bei Nullen im Minuendenin einigen Regionen gängiges Verfahren
Nachteile: Grundvorstellung des „Wegnehmens“ wird nicht unterstützt

Ergänzen mit Erweitern
Das Ergänzen mit Erweitern ist als Verfahren in einigen Bundesländern verbreitet und in einigen davon verpflichtend mit der Begründung, dass es die bei anderen Verfahren auftretenden Fehler vermeidet. Es ist allerdings auch selbst nicht fehlersicher.
Gerechnet wird stellenweise von rechts nach links. Dabei wird stellenweise von rechts nach links gesprochen und geschrieben. Die im Sprechtext unterstrichenen Ziffern werden begleitend zum Sprechen von rechts nach links unter der Linie als Ergebnis notiert. Hier wird empfohlen, beim Sprechen den Stellenwert mit zu benennen. Dies unterstützt die Idee, dass oben und unten das gleiche hinzugefügt wird. Beim Sprechen ist zu beachten, dass es „erweitere“ heißt und nicht „ergänze“.
Schriftbild	Sprechtext	Notierung
	Rechne von unten nach oben. 5E plus 4E gleich 9E Von 8Z bis 2Z geht nicht, ich erweitere oben mit 10Z und unten mit 1H.   8Z plus 4Z gleich 12Z 3H plus 1H gleich 4H	Notiere Ergebnis 4 unterm Strich. Notiere eine 10 oben und eine 1 unten über dem Strich in der nächsten Stelle links. Notiere Ergebnis 4 unterm Strich. Notiere Ergebnis 1 unterm Strich
	Rechne von unten nach oben. Von 9E bis 5E geht nicht, ich erweitere oben mit 10E und unten mit 1Z.   9E plus 6E gleich 15E Von 9Z bis 0Z geht nicht, ich erweitere oben mit 10Z und unten mit 1H. 9Z plus 1Z gleich 10Z 3H plus 1H gleich 4H	Notiere eine 10 oben und eine 1 unten über dem Strich in der nächsten Stelle links Notiere Ergebnis 6 unterm Strich. Notiere eine 10 oben und eine 1 unten über dem Strich in der nächsten Stelle links Notiere Ergebnis 1 unterm Strich. Notiere Ergebnis 1 unterm Strich.
Vorteile: Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion deutlicherAnwendungsbereich: Vergleichen, ErgänzenSubtraktion bei mehreren Subtrahenden leichter durchzuführen
Nachteile: unterschiedliche Schreibweise und Sprechweiseschwer verständlich, gegensinniges Verändern erscheint häufig als „Trick“Einsicht in das Gesetz der Konstanz der Differenz ist ein Problem bei leistungsschwachen Schülern

Weitere Informationen zur Umsetzung dieses Teilrahmenplans sind auf der Homepage www.grundschule.bildung-rp.de eingestellt.

Weitere Quellen:

• Padberg, F., & Benz, Ch.: Didaktik der Arithmetik für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung. Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2011. 4, ISBN 978-3-8274-1996-5
• Selter, Ch. u. a.: Projekt PIKAS an der TU Dortmund. http://www.pikas.uni-dortmund.de/
• Selter, Ch. u. a.: Projekt kira an der Universität Dortmund. http://www.kira.uni-dortmund.de/